Question

抛物线C1：y2=4x的焦点与椭圆C2：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的一个焦点相同．设椭圆的右顶点为A，C1，C2在第

抛物线C1：y2=4x的焦点与椭圆C2：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的一个焦点相同．设椭圆的右顶点为A，C1，C2在第一象限的交点为B，O为坐标原点，且△OAB的面积为63a．（1）求椭圆C2的标准方程；（2）过A点作直线l交C1于C，D两点，连接OC，OD分别交C2于E，F两点，记△OEF，△OCD的面积分别为S1，S2．问是否存在上述直线l使得S2=3S1，若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵y²=4x，∴焦点F（1，0），
∴c=1，即a²=1+b²…（1分）
又∵S△OAB＝

1

2

×|OA|×yB＝

6

3

a，∴yB＝

2 6

3

…（2分）
代入抛物线方程得B(

2

3

，

2 6

3

)．
又B点在椭圆上，解得b²=3，a²=4，
∴椭圆C₂的标准方程为

x2

4

+

y2

3

＝1．…（4分）
（2）设直线l的方程为x=my+2，
由

x＝my+2 y2＝4x

，得y²-4my-8=0，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=4m，y₁?y₂=-8…（6分）
又∵

S2

S1

＝

1 2 |OC||OD|sin∠COD

1 2 |OE||OF|sin∠EOF

＝

|OC||OD|

|OE||OF|

＝|

y1

yE

|×|

y2

yF

|，
直线OC的斜率为

y1

x1

＝

4

y1

，
∴直线OC的方程为x＝

y1y

4

，
由

x＝ y1y 4 x2 4 + y2 3 ＝1

，得

y

2 E

＝

3×64

3y12+64

，
同理

y

2 F

＝

3×64

3y22+64

，
∴

y

2 E

y

2 F

＝(

3×64

3y12+64

)×(

3×64

3y22+64

)＝

64×32

121+48m2

，
则(

S2

S1

)2＝

y 2 1 ? y 2 2

y 2 E ? y 2 F

＝

121+48m2

32

，…（10分）
∴

121+48m2

32

＝9，
∴48m²=-40，不成立．
故不存在直线l使得S₂=3S₁…（12分）