Question

不过圆心的直线l交⊙O于点C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l，垂足为E，BF⊥l，垂足

不过圆心的直线l交于⊙O于C,D两点,AB是⊙O的直径,AE⊥l,垂足为E.BF⊥l,垂足为F
浏览次数：1418次悬赏分：50 | 解决时间：2009-9-10 19:12 | 提问者：小兔兔崽 | 检举
不过圆心的直线l交于⊙O于C,D两点,AB是⊙O的直径,AE⊥l,垂足为E.BF⊥l,垂足为F.

1.在圆中画出不同的三种位置的图形.(我画的是一个是AB直接垂直CD一个是平行另一个是相交)不知道对不对我怎么看都没有相等的线段).

2写出一个各个图形都具有的两条线相等的结论(不能标注其他字母辅助线不能出现在结论中,不用写推理过程)

3.在1中找一个证明2问题补充：

在图中所示的三个圆中分别补画出满足上述条件具有不同位置关系的图形
请你观察1中所画的图形,写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(不再标注其他字母,找结论的过程中所连辅助线补能出现在结论中,不写推理过程

Answer 1

第一个问题：

AB、CD的三种位置关系分别是：①AB∥CD；②AB、CD相交于⊙O内；③AB、CD相交于⊙O外。

依次见附图一、二、三所示。

第二个问题：

三个图中都有的相等线段有两组：①CE＝DF；②CF＝DE。

第三个问题：

①CE＝DF；②CF＝DE 这两个结论只要证明其中的一个就可以了。

很明显，在图一、图三中，CE＋CD＝DE、DF＋CD＝CF，∴由①能得到②，反之亦然。

在图二中，CE＝CD－DE、DF＝CD－CF，由①能得到②，反之亦然。

下面证明：CE＝DF。

一、在图一中。

∵AB∥CD，∴AE＝BF［平行线间处处距离相等］，AC＝BD［平行弦夹等弦］，

∴Rt△ACE≌Rt△BDF，∴CE＝DF。

二、在图二中。

延长AE交⊙O于G，连结BG。

∵AB是直径，∴BG⊥AG，又CD⊥AG，∴CD∥GB，∴GE＝BF、GC＝BD，

∴Rt△CEG≌Rt△DFB，∴CE＝DF。

三、在图三中。

∵AB是直径，∴AC⊥BC、AD⊥BD，

∴由勾股定理，有：AC^2＋BC^2＝AB^2、　AD^2＋BD^2＝AB^2，

∴AC^2＋BC^2＝AD^2＋BD^2。······※

再由勾股定理，有：

AC^2＝AE^2＋CE^2、AD^2＝AE^2＋DE^2、BC^2＝BF^2＋CF^2、BD^2＝BF^2＋DF^2，

都代入※中，得：

AE^2＋CE^2＋BF^2＋CF^2＝AE^2＋DE^2＋BF^2＋DF^2

∴CE^2＋CF^2＝DE^2＋DF^2，　∴CF^2－DF^2＝DE^2－CE^2，

∴（CF＋DF）（CF－DF）＝（DE＋CE）（DE－CE），

∴（CF＋DF）CD＝（DE＋CE）CD，　∴CF＋DF＝DE＋CE，

∴（CD＋DF）＋DF＝（CE＋CD）＋CE，　∴2DF＝2CE，　∴CE＝DF。