Question

在抛物线y=4x²上求一点，使这点到直线y=4x-5 的距离最短。

Answer 1

设此点横坐标是a
则纵坐标y=4a^2
所以点到直线4x-y-5=0距离
d=|4a-4a^2-5|/√(4^2+1^2)

即求|4a-4a^2-5|=|4a^2-4a+5|的最小值
4a^2-4a+5=4(a-1/2)^2+4
当a=1/2时有最小值
a=1/2,4a^2=1
所以是(1/2,1)

追问

最小值是怎样得出的？

追答

a-1/2=0

Answer 2

解：假设这个点存在，那么
把直线y=4x-5向上平移t个单位，得到直线y=4x-5+t，t＞0，新的直线必然与抛物线交于这个点，
且是唯一的点，则方程组：
y=4（x平方）
y=4x-5+t
有唯一解（或有相同的两个解），所以
4（x平方）=4x-5+t
∴4（x平方） -4x +5-t=0·············（1）
判别式△=（-4）平方 -4x4（5-t）=0
即：16-16（5-t）=0
∴t=4
把t=4代入（1）式中得：
4（x平方）-4x+1=0
∴x=1/2
把x=1/2代入 y=4（x平方）中得：
y=1
∴所求的点坐标为（1/2，1）

【很高兴为你解决以上问题，希望对你的学习有所帮助！】≤、≥ ∠