Question

是否存在常数a，b，c使得等式1?2 2 +2?3 2 +…+n（n+1） 2 = n(n+1) 12 （an 2 +bn+c）对于一

是否存在常数a，b，c使得等式1?2 2 +2?3 2 +…+n（n+1） 2 = n(n+1) 12 （an 2 +bn+c）对于一切正整数n都成立？并证明你的结论．

Answer 1

证明：假设存在符合题意的常数a，b，c， 在等式1?2 2 +2?3 2 ++n（n+1） 2 = n(n+1) 12 （an 2 +bn+c）中， 令n=1，得4= 1 6 （a+b+c）① 令n=2，得22= 1 2 （4a+2b+c）② 令n=3，得70=9a+3b+c③ 由①②③解得a=3，b=11，c=10， 于是，对于n=1，2，3都有 1?2 2 +2?3 2 ++n（n+1） 2 = n(n+1) 12 （3n 2 +11n+10）（*）成立． 下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，（*）式都成立． （1）当n=1时，由上述知，（*）成立． （2）假设n=k（k≥1）时，（*）成立， 即1?2 2 +2?3 2 ++k（k+1） 2 = k(k+1) 12 （3k 2 +11k+10）， 那么当n=k+1时， 1?2 2 +2?3 2 ++k（k+1） 2 +（k+1）（k+2） 2 = k(k+1) 12 （3k 2 +11k+10）+（k+1）（k+2） 2 = (k+1)(k+2) 12 （3k 2 +5k+12k+24） = (k+1)(k+2) 12 [3（k+1） 2 +11（k+1）+10]， 由此可知，当n=k+1时，（*）式也成立． 综上所述，当a=3，b=11，c=10时题设的等式对于一切正整数n都成立．