Question

已知函数f(x)＝x+1x．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）证明函数f（x）在区间（1，+∞

已知函数f(x)＝x+1x．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）证明函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．

Answer 1

（1）函数f(x)＝x+

1

x

为奇函数                
∵函数f(x)＝x+

1

x

的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）且关于原点对称．
且f(?x)＝?x+

1

?x

＝?(x+

1

x

)＝?f(x)．
所以函数f(x)＝x+

1

x

为奇函数．
（2）证明：设x₁，x₂是区间（1，+∞）上的任意两个数，且x₁＜x₂．
f(x1)?f(x2)＝x1+

1

x1

?(x2+

1

x2

)＝x1?x2+

1

x1

?

1

x2

＝(x1?x2)(1?

1

x1x2

)
=

(x1?x2)(x1x2?1)

x1x2

．
∵1＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0  即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函数f（x）在（1，+∞）上为增函数．