Question

数列{an}满足a1=2，an+1=an2+6an+6（n∈N×）（Ⅰ）设Cn=log5（an+3），求证{Cn}是等比数列；（Ⅱ）求数

数列{an}满足a1=2，an+1=an2+6an+6（n∈N×）（Ⅰ）设Cn=log5（an+3），求证{Cn}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）设bn＝1an?6?1a2n+6an，数列{bn}的前n项的和为Tn，求证：?516≤Tn≤?14．

Answer 1

（Ⅰ）由a_n+1=a_n²+6a_n+6得a_n+1+3=（a_n+3）²，
∴

log	(an+1+3) 5

=2

log

(an+3) 5

，即c_n+1=2c_n
∴{c_n}是以2为公比的等比数列．
（Ⅱ）又c₁=log₅5=1，
∴c_n=2^n-1，即

log

(an+3) 5

=2^n-1，
∴a_n+3=52n?1
故a_n=52n?1-3
（Ⅲ）∵b_n=

1

an?6

-

1

an2+6an

=

1

an?6

-

1

an+1?6

，∴T_n=

1

a1?6

-

1

an+1?6

=-

1

4

-

1

52n?9

．
又0＜

1

52n?9

≤

1

52?9

=

1

16

．
∴-

5

16

≤T_n＜-

1

4