已知函数y=f(x)=ax2+1bx+c(a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数,当x>0时,f(x)有最小值2,其中b∈N
已知函数y=f(x)=ax2+1bx+c(a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数,当x>0时,f(x)有最小值2,其中b∈N,且f(1)<52(1)试求函数f(x)的解...
已知函数y=f(x)=ax2+1bx+c(a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数,当x>0时,f(x)有最小值2,其中b∈N,且f(1)<52(1)试求函数f(x)的解析式;(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点,若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
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(1)∵f(x)是奇函数,
∴f(-x)=-f(x),即
=?
?bx+c=bx?c,
∴c=0.
∵a>0,b>0,
∴当x>0时,有f(x)=
=
x+
≥2
,
当且仅当x=
时等号成立,于是2
=2,∴a=b2,
由f(1)<
得
<
即
<
,
∴2b2-5b+2<0,解得
<b<2,又b∈N,
∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+
.
(2)假设存在一点(x0,y0)在y=f(x)的图象上,并且关于(1,0)的对称点(2-x0,-y0)也在y=f(x)图象上,
则
∴f(-x)=-f(x),即
ax2+1 |
bx+c |
ax2+1 |
?bx+c |
∴c=0.
∵a>0,b>0,
∴当x>0时,有f(x)=
ax2+1 |
bx |
a |
b |
1 |
bx |
|
当且仅当x=
|
|
由f(1)<
5 |
2 |
a+1 |
b |
5 |
2 |
b2+1 |
b |
5 |
2 |
∴2b2-5b+2<0,解得
1 |
2 |
∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+
1 |
x |
(2)假设存在一点(x0,y0)在y=f(x)的图象上,并且关于(1,0)的对称点(2-x0,-y0)也在y=f(x)图象上,
则
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