Question

设函数f（x）=ax-（1+a 2 ）x 2 ，其中a＞0，区间I={x|f（x）＞0}（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的

设函数f（x）=ax-（1+a 2 ）x 2 ，其中a＞0，区间I={x|f（x）＞0}（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β-α）；（Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1-k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）因为方程ax-（1+a 2 ）x 2 =0（a＞0）有两个实根x 1 =0， x 2 = a 1+ a 2 ＞0， 故f（x）＞0的解集为{x|x 1 ＜x＜x 2 }， 因此区间I=（0， a 1+ a 2 ），区间长度为 a 1+ a 2 ； （Ⅱ）设d（a）= a 1+ a 2 ，则d′（a）= 1- a 2 (1+ a 2 ) 2 ， 令d′（a）=0，得a=1，由于0＜k＜1， 故当1-k≤a＜1时，d′（a）＞0，d（a）单调递增；当1＜a≤1+k时，d′（a）＜0，d（a）单调递减， 因此当1-k≤a≤1+k时，d（a）的最小值必定在a=1-k或a=1+k处取得， 而 d(1-k) d(1+k) = 1-k 1+(1-k ) 2 1+k 1+(1+k ) 2 = 2- k 2 - k 3 2- k 2 + k 3 ＜1，故d（1-k）＜d（1+k）， 因此当a=1-k时，d（a）在区间[1-k，1+k]上取得最小值 1-k 2-2k+ k 2 ，即I长度的最小值为 1-k 2-2k+ k 2 ．