Question

已知抛物线y＝12x2+bx经过点A（4，0）．设点C（1，-3），请在抛物线的对称轴上确定一点D，使得|AD-CD|的

已知抛物线y＝12x2+bx经过点A（4，0）．设点C（1，-3），请在抛物线的对称轴上确定一点D，使得|AD-CD|的值最大，则D点的坐标为______．

Answer 1

解：∵抛物线y＝

1

2

x2+bx经过点A（4，0），
∴

1

2

×4²+4b=0，
∴b=-2，
∴抛物线的解析式为：y=

1

2

x²-2x=

1

2

（x-2）²-2，
∴抛物线的对称轴为：直线x=2，
∵点C（1，-3），
∴作点C关于x=2的对称点C′（3，-3），
直线AC′与x=2的交点即为D，
因为任意取一点D（AC与对称轴的交点除外）都可以构成一个△ADC．而在三角形中，两边之差小于第三边，即|AD-CD|＜AC′．所以最大值就是在D是AC′延长线上的点的时候取到|AD-C′D|=AC′．把A，C′两点坐标代入，得到过AC′的直线的解析式即可；
设直线AC′的解析式为y=kx+b，
∴

4k+b＝0 3k+b＝?3

，
解得：

k＝3 b＝?12

，
∴直线AC′的解析式为y=3x-12，
当x=2时，y=-6，
∴D点的坐标为（2，-6）．
故答案为：（2，-6）．