Question

已知圆C：x2+y2-2x-4y-20=0（1）直线l过点P（4，-4）被圆C截得的弦长为8，求直线l的方程；（2）已知Q（3

已知圆C：x2+y2-2x-4y-20=0（1）直线l过点P（4，-4）被圆C截得的弦长为8，求直线l的方程；（2）已知Q（3，1）为圆内一点，求以Q为中点的弦所在直线方程．

Answer 1

（1）圆方程可化为（x-1）²+（y-2）²=25，
∴圆心C（1，2），半径r=5…（2分）
设圆心C到l的距离为d，则d2+(

|AB|

2

)2＝r2，
∴d＝

r2?( AB 2 )2

＝

52?42

＝3…（4分）
当直线l的斜率不存在时，则l的方程为x=4，
点C（1，2）到l的距离为d=|4-1|=3，符合题意…..（6分）
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y+4=k（x-4），即kx-y-4k-4=0
d＝

|k?2?4k?4|

k2+(?1)2

＝

|3k+6|

k2+1

＝3，解得k＝?

3

4

…（8分）
∴直线l的方程为3x+4y+4=0…．（9分）
综上所述，直线l的方程为x=4或3x+4y+4=0…..（10分）
（2）根据垂径定理，可知以Q为中点的弦垂直于点Q与圆心C的连线，
∵CQ的斜率kCQ＝?

1

2

，∴弦所在直线斜率k=2…．（12分）
因此，弦所在直线方程为y-1=2（x-3），
化成一般式得2x-y-5=0，即为以Q为中点的弦所在直线方程…．（14分）