Question

已知圆C:x^2+y^2-2x+4y-4=0 直线L1过点P（2，0），被圆C截得的弦长为4√2，求直线L1的方程

Answer 1

改写⊙C的方程，得：（x－1）^2＋（y＋2）^2＝9。
∴⊙C的半径为3、圆心C的坐标为（1，－2）。
∵L1被⊙C截得的弦长为4√2，而⊙C的半径为3，∴L1不过⊙C的圆心。
（1）若L1不存在斜率，则：
令（x－1）^2＋（y＋2）^2＝9中的x＝2，得：1＋（y＋2）^2＝9，∴（y＋2）^2＝8，
∴y＋2＝2√2，或y＋2＝－2√2，∴y＝－2＋2√2，或y＝－2－2√2。
∴直线x＝2与⊙C的交点坐标分别是A（2，－2－2√2）、B（2，－2＋2√2）。
显然，｜AB｜＝（－2＋2√2）－（－2－2√2）＝4√2。
∴L1的一条方程是：x＝2。

（2）若L1存在斜率，则：
令L1的斜率为k，则L1的方程是：y＝k（x－2），即kx－y－2k＝0。
很明显，点C到x＝2的距离＝1，∴点C到kx－y－2k＝0的距离也是1，
∴｜k＋2－2k｜/√（k^2＋1）＝1，∴｜2－k｜＝√（k^2＋1），∴（2－k）^2＝k^2＋1，
∴4－4k＋k^2＝k^2＋1，∴4k＝3，∴k＝3/4。
∴满足条件的L1的另一条方程是：y＝（3/4）（x－2），即：3x－4y－6＝0。

综合（1）、（2）可知，满足条件的L1的方程有两条，分别是：①x＝2；②3x－4y－6＝0。