Question

已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+3（1）证明{an+3}是等比数列（2）求{an}的通项公式及前n项和Sn

已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+3（1）证明{an+3}是等比数列（2）求{an}的通项公式及前n项和Sn．

Answer 1

．∵a_n+1=2a_n+3，
∴a_n+1+3=2（a_n+3），
∴a₁+3=1+3=4，
∴{a_n+3}是以4为首项，以2为公比的等比数列；
（2）由（1）可得an+3＝4?2n?1，
∴a₁+3=4，a₂+3=4?2，a₃+3=4×2²，
累加法，得
∴a₁+3+a₂+3+a₃+3+…+an+3＝4?2n?1，
∴s_n+3n=2ⁿ⁺²-4，
∴Sn＝2n+2?3n?4