Question

已知数列{an}中，a1=-1，an+1=2an+3．（1）若bn=an+3，证明{bn}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式；

已知数列{an}中，a1=-1，an+1=2an+3．（1）若bn=an+3，证明{bn}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式；（3）若cn=nbn，求数列{cn}的前n项和Sn．

Answer 1

（1）证明：∵a₁=-1，a_n+1=2a_n+3
∴a_n+1+3=2（a_n+3），a₁+3=2
∴b_n+1=2b_n
∴数列{b_n}是以2为首项，以2为公比的等比数列
（2）解：由（1）可得，b_n=an+3＝2n
∴an＝2n?3
（3）解：∵c_n=nb_n=n?2ⁿ
∴s_n=1?2+2?2²+…+n?2ⁿ
2S_n=1?2²+2?2³+…+（n-1）?2ⁿ+n?2ⁿ⁺¹
两式相减可得，-s_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n?2ⁿ⁺¹
=

2(1?2n)

1?2

?n?2n+1
=（1-n）?2ⁿ⁺¹-2
∴s_n=（n-1）?2ⁿ⁺¹+2