Question

已知函数f（x）=x3+ax2+b的图象在点P（1，f（1））处的切线为3x+y-3=0．（1）求函数f（x）及单调区间；（

已知函数f（x）=x3+ax2+b的图象在点P（1，f（1））处的切线为3x+y-3=0．（1）求函数f（x）及单调区间；（2）求函数在区间[0，t]（t＞0）上的最值．

Answer 1

（1）由P点在切线上得f（1）=0，即点P（1，0）又要在y=f（x）上，
得a+b=-1
又f'（1）=-3?2a=-6故f（x）=x³-3x²+2
f'（x）=3x²-6x，令f'（x）＞0解得x＞2或x＜0，
∴f（x）的增区间是（-∞，0），（2，+∞），减区间是（0，2）
（2）当0＜t≤2时，f（x）_max=f（0）=2，f（x）_min=f（t）=t³-3t²+2
当2＜t≤3时，f（x）_max=f（0）=f（3）=2，f（x）_min+2=f（2）=-2
当t＞3时，f（x）_max=f（t）=t³-3t²+2，f（x）_min=f（2）=-2