Question

已知函数f（x）=x3+ax2+b的图象在点P（1，0）处的切线与直线3x+y=0平行

（Ⅰ）求常数a、b的值

2 若x1,x2∈【0,4】求证|f(x1)-f(x2)|≤20

Answer 1

1)f'(x)=3x^2+2ax=x(3x+2a)
由题意，f'(1)=-3
即3+2a=-3,得：a=-3
f(1)=0, 得：1+a+b=0, 即b=-1-a=2

2) f(x)=x^3-3x^2+2
f'(x)=3x(x-2)
f(0)=2为极大值
f(2)=8-12+2=-2为极小值
又f(4)=64-48+2=18
因此f(x)在[0, 4]上的值域为[-2, 18]
所以有|f(x1)-f(x2)|≤|18-(-2)|=20