Question

已知函数f(x)=x^3+ax^2+b的图像上一点P(1,0),且在点P处的切线与直线3x+y=0平行

关于x的方程f(x)=c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根,求实数c的取值范围

Answer 1

①f(x)=x�0�6+ax�0�5+b, 3x+y=0等价于y=-3x,K=-3f(x)＇=(x�0�6)＇+(ax�0�5)＇+b＇=3x�0�5+2ax=K=-3, 代x=1,得3+2a=-3,即a=-3所以f(x)=x�0�6-3x�0�5+b，又因为x=1时，y=0，所以f(1)=1�0�6-3x1�0�5+b=0，得b=2,所以f(x)=x�0�6-3x�0�5+2②f(x)=c等价于x�0�6-3x�0�5+2=c, 在区间[1,3]上恰有两个相异的实根,f(x)=x�0�6-3x�0�5+2与y=c有两个交点f(x)＇=3x�0�5-6x=3x(x-2) ,f(x)＇﹥0, x﹤0或x＞2单调递增，f(x)＇＜0，0＜x＜2,单调递减所以f(x)极大值=f(o)=2,f(x)极小值=f(2)=-2，f(1)=o,f(3)=2,在区间[1,3],f(x)∈[-2,2],∵f(3)＞(1)∴c∈[0,2﹚