Question

已知函数f(x)=x^3+ax^2+b的图像在点P（1，f(1)）处的切线为3x+y-3=0。

1）求函数f(x)的单调区间。
2）求函数在区间[0,t]（t>0）上最值
本人知道具体解题步骤，只是不明白第二问中为什么要讨论t与3的关系，3与最值点无关，望高手尽快回复

Answer 1

1）由题目条件
f'(1)=3+2a=-3 f(1)=1+a+b=0
解得a=-3,b=2，于是f(x)=x^3-3x^2+2,f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)
于是f(x)在[0,2]上单减，在（-∞，0），（2，+∞)上单调递增
2）由于[0,t]是一个不确定长度的空间，当t<=2时，函数是单调递减的，此时最大值为 f(0)=2,最小值为f(t)=t^3-3t^2+2。当t>2时，函数变成先减后增，则函数在x=2上取得最小值 f(2)=-2，函数最大值为两个端点的较大值，即f(0)与f(t)中较大的一个，故需要比较两者的关系。

由f(t)>f(0)，解得t>3或t<0（舍去），这个就是要讨论t和3关系的原因了。

当t>3时，最大值为f(t)=t^3-3t^2+2，2<t<3时，最大值为f(0)=2

Answer 2

f '(x)=3x²+2ax
你的问题是为什么要讨论t与3的
f(x)图像是大N字样的图像，f(0)=2
f(x)=2可化为：
x²(x-2)=0==>x=0,x=2
当0<t<2时，f(x)单调减
当2<t<3时，f(x)在[0,t]上先减后增，但增区间短，此时的最大值是左端点
当t>3时，f(x)在[0,t]上先减后增，但增区间长，此时的最大值是右端点；
所以t=3是界点，因此必须讨论!,断开；
因为你不要求提供过程，如果你不明白的话我再你细化；

追问

我想问如果t取4或5不是也可以吗

追答

没有那个必要再问我了，我肯定知道

Answer 3

f(x)=x^3-3x^2+2，其导数为：f '(x)=3x²-6x，在[0,3]小于0，即原函数f(x)在[0,3]内递减，而题目问的是在[0，t]上的最值，所以必须讨论t与3的关系！