Question

求lim(x->0)[1-(1-x^2)^1/2]/(e^x-cosx)极限

Answer 1

回答如下：

可以根据洛必达法则来计算：

对分子求导：

-0.5(1-x^2)^(-1/2) * (-2x) 

=x(1-x^2)^(-1/2) 

= 0

对分母求导：

e^x+sinx =1

所以极限是：0/1=0

极限的性质：

和实数运算的相容性，譬如：如果两个数列{xn} ，{yn} 都收敛，那么数列{xn+yn}也收敛，而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。

与子列的关系，数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列{xn} 收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。

Answer 2

典型的0/0型，罗比达即可
分子求导得到-0.5(1-x^2)^(-1/2) * (-2x) = x(1-x^2)^(-1/2) = 0
分母求导得到e^x+sinx =1
显然极限是 0/1=0

追问

要求利用等价无穷小的替换性质，那要怎么解呢？麻烦了......

追答

(1-y)^(1/2)~ 1-y/2, e^x~1+x, cosx = 1-x^2/2
所以 [1-(1-x^2)^1/2]/(e^x-cosx) ~ [1-(1-x^2/2)]/(1+x-1+x^2/2) = x^2/2 /x(1+x/2) ~ x^2/2x = x/2 ~0

Answer 3

或者用泰勒公式