Question

已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为5，从这个圆上任一点p向x轴作垂线PP’，垂足为P’，M为线段PP’上一

已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为5，从这个圆上任一点p向x轴作垂线PP’，垂足为P’，M为线段PP’上一点，且满足： MP =4 PM （1）求动点M的轨迹C的方程；（2）若过电（3，0）且斜率为1的直线交曲线C于A、B两点，求弦AB的长．

Answer 1

（I）设点M（x，y），点P的坐标为（x 0 ，y 0 ），由 MP =4 PM ， 可得：x=x o ，y= 4 5 y 0 ， P（x 0 ，y 0 ）在圆x 2 +y 2 =25上，所以，x 0 2 +y 0 2 =25， 将x o =x，y 0 = 5 4 ，y代入方程①，得 x 2 25 + y 2 16 =1 ， 故点M的轨迹C的方程为 x 2 25 + y 2 16 =1 ， （II）设A（x 1 ，y 1 ），B （x 2 ，y 2 ），由已知得直线方程：y=x-3 x 2 25 + y 2 16 =1，(1) y=x-3，(2) ， 将（2）代入整理得41x 2 -150x-175=0 由伟达定理： x 1 + x 2 = 150 41 ， x 1 x 1 =- 175 41 ． 所以：|AB|= ( x 1 - x 2 )  2 + ( y 2 - y 1 )  2 = 1+ k 2 ( x 1 + x 2 )  2 -4 x 1 x 2 = 320 41 ， 故弦AB的长度为 320 41 ．