Question

将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合

将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝2 ，P是AC上的一个动点．（1）直接写出AD=_____，AC=_______，BC=_______，四边形ABCD的面积=______；（2）当点P在运动过程中出现PD＝BC时，求此时∠PDA的度数；（3）当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上？求出此时□DPBQ的面积．

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Answer 1

（1） ， ， ， ；（2）75°；（3） ，

试题分析：（1）根据特殊的直角三角形的性质及直角三角形的面积公式求解即可； （2）当P点位置如图（2）所示时，根据（1）中结论，DF＝ ，∠ADF＝45°，又PD＝BC＝ ，即可得到 ＝ ，则∠PDF＝30°，即可求得∠PDA的度数，当P点位置如图（3）所示时，同（2）可得∠PDF＝30°，即可求得结果； （3）在□DPBQ中，BC∥DP，由∠ACB＝90°可得DP⊥AC．根据（1）中结论可知，DP＝CP＝ ，再根据平行四边形的面积公式求解即可. （1）AD= ，AC= ，BC= ，四边形ABCD的面积= ； （2）当P点位置如图（2）所示时，根据（1）中结论，DF＝ ，∠ADF＝45°，又PD＝BC＝ ， ∴ ＝ ， ∴∠PDF＝30°． ∴∠PDA＝∠ADF－∠PDF＝15° 当P点位置如图（3）所示时，同（2）可得∠PDF＝30°． ∴∠PDA＝∠ADF＋∠PDF＝75°； （3）CP＝ ． 在□DPBQ中，BC∥DP， ∵∠ACB＝90°， ∴DP⊥AC． 根据（1）中结论可知，DP＝CP＝ ， ∴S □DPBQ ＝ ＝ ． 点评：此类问题难度较大，在中考中比较常见，一般在压轴题中出现，需特别注意.