Question

已知函数f（x）=x2-alnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求证：f（x）在（1，+∞）上是增函数；（Ⅱ）求f（x）在[

已知函数f（x）=x2-alnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求证：f（x）在（1，+∞）上是增函数；（Ⅱ）求f（x）在[1，+∞）上的最小值．

Answer 1

证明：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x²-2lnx，当x∈（1，+∞）时，f/(x)＝

2(x2?1)

x

＞0，所以f（x）在（1，+∞）上是增函数；   …（5分）
（Ⅱ）解：f/(x)＝

2x2?a

x

＞0，
当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在[1，+∞）上单调递增，最小值为f（1）=1．
当a＞0，x∈(0，

a 2

)时，f（x）单调递减；当x∈(

a 2

，+∞)时，f（x）单调递增．
若

a 2

≤ 1，即0＜a≤2时，f（x）在[1，+∞）上单调递增，又f（1）=1，，所以f（x）在[1，+∞）上的最小值为1．
若

a 2

＞1，即a＞2时，f（x）在[1，

a 2

)上单调递减；在(

a 2

，+∞)上单调递增．
又