Question

已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD于F，交BC于E．求证：（1﹚AB=

已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD于F，交BC于E．求证：（1﹚AB=BE； （2﹚∠CAE=12∠ABC； （3﹚AD=CE； （4﹚CD+CE=AB．

Answer 1

已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD于F，交BC于E．求证：（1﹚AB=BE； （2﹚∠CAE=12∠ABC； （3﹚AD=CE； （4﹚CD+CE=AB．

证明：（1）在Rt△ABF和Rt△EBF中，因为AE⊥BD，∠AFB=∠EFB=90°；因为BD平分∠ABC，所以∠ABF=∠EBF；BF=BF(公共边);所以Rt△ABF≌Rt△EBF(角边角)。AB=BE。 （2）因为∠BAC=90°，所以∠CAE+∠ADB=∠ABD+∠BDA=90D；所以∠CAE=ABD=∠DBC=（1/2）∠ABC。

（3）连结DE，在Rt△ABD和Rt△EBD中，与（1）同理，Rt△ABD≌Rt△EBD。AD=DE， ∠BAD=∠BED=90D,所以DE⊥EC;因为AB=AC,所以△ABC是等腰Rt△,∠ABC=∠ACB=45D，∠EDC=90D-45D=45D,△CDE是等腰 Rt△；则EC=ED=AD。

（4）CD+CE=AD+CD=AC=AB。证毕。

Answer 2

证明：（1）∵BD平分∠ABC，AE⊥BD，
∴∠ABF=∠EBF，∠AFB=∠EFB=90°，
在△ABF和△EBF中，

∠ABF＝∠EBF ∠AFB＝∠EFB BF＝BF

，
∴△ABF≌△EBF（AAS），
∴AB=BE；
（2）∵∠BAC=90°，
∴∠CAE+∠BAF=90°，而∠BAF+∠ABF=90°，
∴∠CAE=∠ABF=

1

2

∠ABC；
（3）连接DE，

在△ABD和△EBD中

AB＝BE ∠ABF＝∠EBF BD＝BD

，
∴△ABD≌△EBD（SAS），
∴AD=DE，∠DEC=∠BAC=90°，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠C=45°，
∴CE=DE，
∴AD=CE；
（4）由（3）可得AD=CE，
所以CD+AD=CD+CE=AC=AB．

Answer 3