Question

（2014?萝岗区一模）如图，已知反比例函数y＝k1x的图象与一次函数y=k2x+b的图象交于A（2，1），B（-1，n

（2014?萝岗区一模）如图，已知反比例函数y＝k1x的图象与一次函数y=k2x+b的图象交于A（2，1），B（-1，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）在直线AB上是否存在一点P，使△APO∽△AOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（可直接引用的公式：已知两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），两点距离公式为：|P1P2|＝(x1?x2)2+(y1?y2)2）

Answer 1

（1）∵y＝

k1

x

经过A（2，1），
∴1＝

k1

2

，k₁₌2，
∴反比例函数关系式为y＝

2

x

，
∵B（-1，n）在y＝

2

x

上，
∴n=-2…（2分）
∴B点的坐标为（-1，-2）．
又∵y=k₂x+b经过A、B两点，
∴

2k2+b＝1 ?k2+b＝?2

，
解得：

k2＝1 b＝?1

，
∴一次函数的关系式为y=x-1；

（2）在直线AB上存在点P，能使△APO∽△AOB．
假设存在一点P，使△APO∽△AOB，
∵点P在直线y=x-1上，
∴可设点P（a，a-1），…（6分）
∵△APO∽△AOB，
∴

AP

AO

＝

AO

AB

，
即：AP＝

AO

AB

2…①…（7分）
由两点距离公式可得：AO＝

22+12

＝

5

，AB＝

32+32

＝3

2

，AP²=（2-a）²+[1-（a-1）]²；
代入①式得：(

( 5 )2

3 2

)2＝(2?a)2+[1?(a?1)]2，
即(2?a)2＝

25

36

，…（11分）
∴a?2＝±

5

6

，a＝

7

6

，或a＝

17

6

…（12分）
经检验a＝

17

6

不合题意，舍去 …（13分）
∴P点的坐标为(

7

6

，

1

6

)．…（14分）
∴存在点P，使△APO∽△AOB，此时P点的坐标为(

7

6

，

1

6

)．…（14分）