Question

初中几何求解？

已知:在△ABC中,∠ABC=3∠C,∠BAC的平分线AD交BC于D，BE垂直于AD于E。（1）如图1，求证：AC-AB=2BE （这个问会了，不用回答）（2）如图2，将∠DCA沿直线AC翻折，交BA的延长线于点M，连接MD交AC于点N，MA=BA，CM=2，BD=2-√2（根号2），求MN的长。（这个问请求详细解答步骤）

Answer 1

（2）解：∵MA=BA ，∠ACB=∠ACM
∴AC⊥BM
∴CM=CB=2
∵BD=2-√2
∴DC=√2
∵∠ABC=3∠ACB（已知）
∴4∠ACB=90°
∴∠BCM=2∠ACB=45°
∴MD⊥BC（勾股定理），MD=DC=√2
∵△AMN∽△DMB
∴MN/MB=AM/DM
∵MB=2MA
∴√2MN=1/2MB²
∵MB²=BD²+MD²=4-4√2+2+2=8-4√2
∴MN=2√2-2

Answer 2

既然是翻折得到的则∠BCA=∠ACM；而sin∠MAC=sin∠BAC,AM=AB;
所以MC=AMsin∠MAC/sin∠ACM=ABsin∠BAC/sin∠ACB=BC；
所以△AMC≌△ABC；所以AC垂直平分BM；
由第一问可知∠BAC=180°-4∠ACB,∠ACB=∠DBE;
所以∠ACB=90°/4=22.5°=∠DBE,∠ABC=3∠ACB=67.5°,∠BAD=45°；
所以∠ADB=∠ABD,所以AB=AD=AM;∠AMD=∠ADM=22.5°;
所以MD⊥BD;∠BCM=45°；
所以MD=DC=BC-BD=CM-BD;∠DNC=67.5°;
DN=ADsin∠BCA/sin∠DNC;
MN=MD-ND.
详细的值自己来吧

Answer 3

解：过点M作CA的平行线交CA的延长线于F,
可知三角形MAF与三角形BAC相似，又MA=AB,
所以三角形MAF与三角形BAC全等，而∠DCA沿直线AC翻折，
可知∠ACB=∠MCA=∠F,所以CM=FM=2，可知CD=√2,又FM=BC,
所以BC=2，即三角形MBC为等腰三角形，因为∠ACB=∠MCA，
所以，CA与MB垂直，∠BAC=90,∠BAD=45度，
所以∠EBD=∠C=22.5度，∠MCD=45度，
可得三角形CMD与三角形AEB相似，均为等腰直角三角形（两边对应成比例，且夹角相等）
所以MD=CD=√2,又由于MF//CD，所以三角形MFN与三角形DCD相似，且相似比为√2:1，
所以MN=MD*√2/(1+√2),=2√2-2