Question

已知二次函数y=x 2 -2mx+4m-8 （1）当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围；（2

已知二次函数y=x 2 -2mx+4m-8 （1）当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围；（2）以抛物线y=x 2 -2mx+4m-8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN（M，N两点在抛物线上），请问：△AMN的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）若抛物线y=x 2 -2mx+4m-8与x轴交点的横坐标均为整数，求整数m的值。

Answer 1

解：（1） ， ∴由题意得，m≥2； （2）根据抛物线和正三角形的对称性，可知MN⊥y轴，设抛物线的对称轴与MN交于点B，则AB= ， 设M（a，b） ∴BM=a-m（m<a）， 又AB= = = = ∴ ， ∴a-m= ， ∴BM= ，AB=3， ∴ 定值； （3）令y=0，即 时，有 ， 由题意， 为完全平方数，令 ，即 ， ∵m，n为整数，∴n+m-2，n-m+2的奇偶性相同， ∴ 或 ， 解得 或 ， 综合得m=2。