Question

如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，过点O作BC的平行线交AC于点E，交过点A的直线于 点D，且∠D=∠BAC

如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，过点O作BC的平行线交AC于点E，交过点A的直线于 点D，且∠D=∠BAC．（1）求证：AD是半圆O的切线；（2）若BC=2，CE= 2 ，求AD的长．

Answer 1

（1）证明：∵AB为半圆O的直径， ∴∠BCA=90°． 又∵BC ∥ OD， ∴OE⊥AC． ∴∠D+∠DAE=90°． ∵∠D=∠BAC， ∴∠BAC+∠DAE=90°． ∴AD是半圆O的切线． （2）∵BC ∥ OD， ∴△AOE ∽ △ABC， ∵BA=2AO， ∴ AO BA = AE AC = 1 2 ，又CE= 2 ， ∴AC=2CE= 2 2 ． 在Rt△ABC中， AB= A C 2 +B C 2 = (2 2 ) 2 + 2 2 =2 3 ， ∵∠D=∠BAC，∠ACB=∠DAO=90°， ∴△DOA ∽ △ABC． ∴ AD AC = OA BC 即 AD 2 2 = 3 2 ． ∴ AD= 6 ．