Question

（1）已知f（x）为一次函数，f[f（x）]=2x-1，求f（x）的解析式．（2）函数y=f（x）是（-∞，+∞）上的奇

（1）已知f（x）为一次函数，f[f（x）]=2x-1，求f（x）的解析式．（2）函数y=f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数，当x＞0时f（x）=x 2 -2x-3，求函数y=f（x）的解析式．（3）已知a，b为常数，若f（x）=x 2 +4x+3，f（ax+b）=x 2 +10x+24，求5a-b的值．

Answer 1

（1）设f（x）=ax+b，则f（f（x））=a（ax+b）+b=a 2 x+ab+b ∵f[f（x）]=2x-1，∴a 2 x+ab+b=2x-1 ∴a 2 =2且ab+b=-1，解得a= 2 ，b=1- 2 或a=- 2 ，b=1+ 2 ∴ f(x)= 2 x+1- 2 或 f(x)=- 2 x+1+ 2 （2）∵y=f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数，∴f（0）=0 下面求x＜0时函数解析式 设x＜0，则-x＞0 ∴f（-x）=（-x） 2 -2（-x）-3=x 2 +2x-3 ∵y=f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数 ∴f（-x）=-f（x） ∴x＜0时函数解析式f（x）=-x 2 -2x+3 ∴函数y=f（x）的解析式为 x 2 -2x-3     (x＞0) 0              (x=0) - x 2 -2x+3   (x＜0) （3）∵f（x）=x 2 +4x+3 ∴f（ax+b）=（ax+b） 2 +4（ax+b）+3=a 2 x 2 +（2ab+4a）x+b 2 +4b+3=x 2 +10x+24 ∴ a 2 =1 2ab+4a=10 b 2 +4b+3=24 ，解得 a=1 b=3 或 a=-1 b=-7 ∴5a-b=2