已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，g（x）=ex-x+1．（a为常数，e为自然对数的底）（1）当a=1时，求f（
已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，g（x）=ex-x+1．（a为常数，e为自然对数的底）（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间...
已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，g（x）=ex-x+1．（a为常数，e为自然对数的底）（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间（0，12）无零点，求a的最小值；（3）若对任意给定的x0∈（0，1]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，求a的取值范围．
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（1）当a=1时，f（x）=x-1-2lnx（x＞0）则f′(x)＝1?
．
令f′（x）＞0得x＞2；令f′（x）＜0得0＜x＜2
故f（x）的单调递减区间为（0，2]，单调递增区间为[2，+∞）…（3分）
（2）∵函数f（x）＜0在区间(0，
)上不可能恒成立，
故要使函数f（x）在区间(0，
)上无零点，只要对?x∈(0，
)，f（x）＞0恒成立
．即对?x∈(0，
)，a＞2?
恒成立．…（4分）
令l(x)＝2?
（x∈(0，
)）则l′(x)＝
＝
再令m(x)＝2lnx+
?2，则m′(x)＝
?
＝
，
∵x∈(0，
)，
∴m′（x）＜0
故函数m（x）在区间(0，
)上单调递减，
∴m(x)＞m(
)＝2?2ln2＞0
即l′（x）＞0，∴函数l（x）在区间(0，
)上单调递增，
∴l(x)＜l(
)＝2?4ln2…（6分）
故只要a≥2-4ln2函数f（x）在区间(0，
)上无零点，
所以amin=2-4ln2…（7分）
（3）∵g′（x）=ex-1，当x∈（0，1]，g′（x）＞0，
∴函数g（x）在区间（0，1]上是增函数．
∴g（x）∈（2，e]…（8分）
当a=2时，f（x）=-2lnx，不符题意
当a≠2时，f′(x)═2?a?
＝
当x＝
| 2 |
| x |
令f′（x）＞0得x＞2；令f′（x）＜0得0＜x＜2
故f（x）的单调递减区间为（0，2]，单调递增区间为[2，+∞）…（3分）
（2）∵函数f（x）＜0在区间(0，
| 1 |
| 2 |
故要使函数f（x）在区间(0，
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
．即对?x∈(0，
| 1 |
| 2 |
| 2lnx |
| x?1 |
令l(x)＝2?
| 2lnx |
| x?1 |
| 1 |
| 2 |
?
| ||
| (x?1)2 |
2lnx+
| ||
| (x?1)2 |
再令m(x)＝2lnx+
| 2 |
| x |
| 2 |
| x |
| 2 |
| x2 |
| ?2(1?x) |
| x2 |
∵x∈(0，
| 1 |
| 2 |
∴m′（x）＜0
故函数m（x）在区间(0，
| 1 |
| 2 |
∴m(x)＞m(
| 1 |
| 2 |
即l′（x）＞0，∴函数l（x）在区间(0，
| 1 |
| 2 |
∴l(x)＜l(
| 1 |
| 2 |
故只要a≥2-4ln2函数f（x）在区间(0，
| 1 |
| 2 |
所以amin=2-4ln2…（7分）
（3）∵g′（x）=ex-1，当x∈（0，1]，g′（x）＞0，
∴函数g（x）在区间（0，1]上是增函数．
∴g（x）∈（2，e]…（8分）
当a=2时，f（x）=-2lnx，不符题意
当a≠2时，f′(x)═2?a?
| 2 |
| x |
| (2?a)x?2 |
| x |
当x＝
| 2 |
| 2?a |
