Question

（2014?六盘水）如图，二次函数y=12x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B

（2014?六盘水）如图，二次函数y=12x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．（1）求二次函数的解析式．（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标．（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点．连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求△BDE的面积．（4）抛物线上有一个动点P，与A，D两点构成△ADP，是否存在S△ADP=12S△BCD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．

Answer 1

（1）∵二次函数y=

1

2

x²+bx+c的图象过A（2，0），B（8，6）
∴

1 2 ×22+2b+c＝0 1 2 ×82+8b+c＝6

，解得

b＝?4 c＝6

∴二次函数解析式为：y=

1

2

x²-4x+6，

（2）由y=

1

2

x²-4x+6，得y=

1

2

（x-4）²-2，
∴函数图象的顶点坐标为（4，-2），
∵点A，D是y=

1

2

x²+bx+c与x轴的两个交点，
又∵点A（2，0），对称轴为x=4，
∴点D的坐标为（6，0）．

（3）∵二次函数的对称轴交x轴于C点．
∴C点的坐标为（4，0）
∵B（8，6），
设BC所在的直线解析式为y=kx+b，
∴

4k+b＝0 8k+b＝6

解得

k＝ 3 2 b＝?6

∴BC所在的直线解析式为y=

3

2

x-6，
∵E点是y=

3

2

x-6与y=

1

2

x²-4x+6的交点，
∴

3

2

x-6=

1

2

x²-4x+6
解得x₁=3，x₂=8（舍去），
当x=3时，y=-

3

2

，
∴E（3，-

3

2

），
∴△BDE的面积=△CDB的面积+△CDE的面积=

1

2

×2×6+

1

2

×2×

3

2

=7.5．

（4）存在，
设点P到x轴的距离为h，
∵S_△BCD=

1

2

×2×6=6，S_△ADP=

1

2

×4×h=2h
∵S_△ADP=

1

2

S_△BCD
∴2h=6×

1

2

，解得h=

3

2

，
当P在x轴上方时，

3

2

=

1

2

x²-4x+6，解得x₁=4+

7

，x₂=4-

7

，
当当P在x轴下方时，
-

3

2

=

1

2

x²-4x+6，解得x₁=3，x₂=5，
∴P₁（4+

7

，

3

2

），P₂（4-

7

，

3

2

），P₃（3，-

3

2

），P₄（5，-

3

2

）．