Question

求微分方程

求详细过程。

Answer 1

A= -a a
b -b

P=[P00,P10]'
P=e^(At) P(0)
先求A的特征值
(t+a)(t+b)-ab=0
t^2+(a+b)t=0
t=0,-(a+b)

把矩阵方程乘开
P00'=-a(p00-p10)
P10'=b(p00-p10)
(bP00+aP10)'=0
bP00+aP10=C=b (代入初始条件)
P10=b(1-P00)/a

P00'=-a(P00-P10)=-aP00+b-bP00
P00'+(a+b)P00=b

积分因子
Q=e^[(a+b)t]
(QP00)'=be^[(a+b)t]

QP00=[b/(a+b)]e^[(a+b)t]+C
P00=b/(a+b)+Ce^[-(a+b)t]
代入t=0
1=b/(a+b)+C
C=a/(a+b)
P00=b/(a+b)+[a/(a+b)]e^[-(a+b)t]
P10=b(1-P00)/a=b/(a+b)-[b/(a+b)]e^[-(a+b)t]

Answer 2