Question

已知二次函数f(X)=x²+ax+b(a,b为常数)，满足f(0)=f(1),方程f(x)=x有两个相等的实数根

已知二次函数f(X)=x²+ax+b(a,b为常数)，满足f(0)=f(1),方程f(x)=x有两个相等的实数根。

（1）求函数f(x)的解析式

（2）当X属于[0，4]时求函数f(x)的值域

Answer 1

f(0)=b f(1)=1+a+b b=1+a+b=> a=-1
f(x)=x^2-x+b=x有两个相等实根 则x^2-2x+b=0有两个相等实根 △=4-4b=0 b=1
f(x)=x^2-x+1
可知对称轴x=1/2 所以在[0,4]内函数在x=1/2有最小值为3/4 在x=0或x=4时有最大值
f(0)=1 f(4)=13
值域为[3/4,13]

Answer 2

1.因为f(0)=f(1)，所以a=-1。因为f(x)=x有两个相等的实数根，即x²-2x+b=0有两个相等的实数根。根据判别式4-4b=0，得b=1.所以f(X)=x²-x+1
2.当x=1/2时，有最小值3/4
当x=4时，有最大值13
所以值域[3/4,13]

Answer 3

（1）f(0)=f(1),所以b=1+a+b 所以a=-1
方程f(x)=x有两个相等的实数根 a^2-4b=0 所以b=1 f(x)=x²-x+1
(2) 求导f*(x)=2x-1 令f*(x)=0 x=1/2 f*(x)>0 x.1/2 f*(x)<0 x<1/2
所以x=1/2为极小值点 f(1/2)=3/4 f(0)=1 f(4)=13
所以当X属于[0，4]时 .当x=1/2时，有最小值3/4 当x=4时，有最大值13
所以值域[3/4,13]