Question

已知函数f(x)= √3sinωxcosωx-cos^2ωx+1/2(ω>0,x∈R)的最小正周期为π/2

已知函数f(x)= √3sinωxcosωx-cos^2ωx+1/2(ω>0,x∈R)的最小正周期为π/2
1、求f(2π/3)的值，并求出函数f(x)的图像的对称中心的坐标
2、当x∈[π/3, π/2]时，求函数f(x)的单调递增区间
注：π=pi

Answer 1

f(x)= √3sinωxcosωx-cos^2ωx+1/2
=√3/2*(2sinwxcoswx)-cos^2wx+1/2
=√3/2sin2wx-cos^2wx+1/2
=√3/2sin2wx-[(1+cos2wx)/2]+1/2
=√3/2sin2wx-1/2cos2wx
=-cos(π/3+2wx)
因为最小正周期为π/2，所以T=2π/2w=π/2，w=2
f(x)=-cos(π/3+4x)
x=2π/3时，f(x)=1,由正余弦图像知，其中心对称坐标即为其与X轴的交点，所以f(x)的中间对称坐标为：(π/24+kπ/2,0),

(2)f(x)=-cos(π/3+4x),其单调增区间为-π+2kπ≤π/3+4x≤0，即-π/3+1/2kπ ≤ x ≤ -π/12+1/2kπ即[-π/3+1/2kπ, -π/12+1/2kπ]
同理，其单调减区间为：-π/12+1/2kπ ≤ x ≤ π/6+1/2kπ即[-π/12+1/2kπ, π/6+1/2kπ ]
所以x∈[π/3, π/2]时，
x∈[π/3, 5π/12]为增函数，在x∈[5π/12, π/2]为减函数。

上面所以的K为整数。