Question

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AP=B1Q,N是PQ的中点,M是正方形ABB1A1的中心 求证：1、MN//平面B1D1 2、MN//A1C1

Answer 1

用向量做。
以D点为坐标原点，DA为X轴，DC为Y轴，DD1为Z轴建立直角坐标系。设正方体棱长为1.
(1)
A(1,0,0) D(0,0,0) D1(0,0,1) P(0,1/2,1) M(0,1,1/2) N(1/2,1,1)
向量D1N=N-D1=(1/2,1,1)-(0,0,1)=(1/2,1,0)
向量D1M=M-D1=(0,1,1/2)-(0,0,1)=(0,1,-1/2)
向量AP=P-A=(0,1/2,1)-(1,0,0)=(-1,1/2,1)
AP(->)*D1N(->)=-1/2+1/2=0
AP(->)⊥D1N(->)
AP(->)*D1M(->)=1/2-1/2=0
AP(->)⊥D1M(->)
D1N交D1M于点D1
AP⊥面D1MN

(2)
过点C1作C1Q垂直MN交MN于点Q，连接D1Q
根据对称性，角C1D1Q即为D1C1与面D1MN所成的角a
tana=CQ/D1C1
CQ=1/2*√2/2=√2/4
D1C1=1
tana=√2/4

不用向量作要作辅助线，而且也要计算，很麻烦。

取CN中点H，连接PH，并延长HP与A1D1的延长线交于点Q，连接AQ，AH。
易得：
PH=PQ
D1N//QH
令正方体棱长为1.
AH^2=1+(3/4)^2+1=41/16
AQ^2=1+(1+1/4)^2=41/16
AH=AQ
在等腰三角形AHQ中
PQ=PH
AP⊥QH
AP⊥D1N
同样的方法可得：
AP⊥D1M
所以AP⊥面D1MN

Answer 2

如果P在AB上，Q在B1C1上。。。
先画个立体图，ABCD在上，A1B1C1D1对应在下，然后AA1,BB1,CC1,DD1中点分别为A2,B2,C2,D2，也就是平面A2B2C2D2正好在平面ABCD与平面A1B1C1D1中间
不管AP=B1Q是否成立，N为PQ中点时，N点的高度正好在平面A2B2C2D2上，而M为正方形ABB1A1的中心，也正好在平面A2B2C2D2上，也就是MN在平面A2B2C2D2上，且平面A2B2C2D2与平面A1B1C1D1平行。
额 只知道MN与平面A1B1C1D1平行，线的话是异面直线吧

Answer 3

貌似不完整吧…P在AB上，Q在B1C1上

追问

是。

追答

无奈…我也求