Question

数学分析题目 求解答思路

设[a,b]是一个有限闭区间，如果对任意x0属于[a,b]，f(x)在x=x0处的极限都存在，证明：f(x)在闭区间[a,b]上有界。 求解答思路，是否用反证法？

Answer 1

反证：若f(x)在区间[a,b]上无界
则把这个闭区间分成两部分[a,x1][x1,b]
f(x)至少在其中一个区间上无界，继续划分这个区间，最终得到一个闭区间套。
根据闭区间套定理，区间套中存在唯一的点P∈[an ,bn ]，n=1,2,3..
因为对任意xo属于[a,b]，f(x)在x=xo处极限存在。
所以f(x)在P处存在极限。设极限为A，,存在δ＞0使得x∈（P-δ，P+δ）时，f(x)有界。
通过适当选取，使得（P-δ，P+δ）包含[an,bn]这个区间时，函数在区间内无界，所以矛盾。