Question

已知：如图，梯形ABCD中，AB ∥ DC，E是BC的中点，AE、DC的延长线相交于点F，连接AC、 BF．（1）求证：A

已知：如图，梯形ABCD中，AB ∥ DC，E是BC的中点，AE、DC的延长线相交于点F，连接AC、 BF．（1）求证：AB=CF；（2）若将梯形沿对角线AC折叠恰好D点与E点重合，梯形ABCD应满足什么条件，能使四边形ABFC为菱形？并加以证明；（3）在（2）的条件下求sin∠CAF的值．

Answer 1

（1）证明：∵AB ∥ DC， ∴∠FCE=∠ABE，∠CFE=∠BAE． 又E是BC的中点， ∴△ABE≌△FCE． ∴AB=CF． （2）梯形ABCD应满足∠ADC=90°，CD= 1 2 BC． 理由如下： ∵AB ∥ CF，AB=CF， ∴四边形ABFC是平行四边形． 要使它成为菱形，只需AF⊥BC． 根据将梯形沿对角线AC折叠恰好D点与E点重合，得 ∠ADC=90°，CD= 1 2 BC． （3）∵四边形ABFC为菱形， ∴AC=CF． ∴∠CAF=∠AFC． ∴∠ACD=∠CAF+∠AFC=2∠CAF． 由于是折叠，得∠CAD=∠CAF． ∴∠ACD=2∠CAD． 又∠ADC=90°， ∴∠CAF=∠CAD=30°． ∴sin∠CAF= 1 2 ．