Question

如图，点 D 是⊙ O 直径 CA 的延长线上一点，点 B 在⊙ O 上，且 AB ＝ AD ＝ AO ．（1）求证： BD 是⊙

如图，点 D 是⊙ O 直径 CA 的延长线上一点，点 B 在⊙ O 上，且 AB ＝ AD ＝ AO ．（1）求证： BD 是⊙ O 的切线；（2）若点 E 是劣弧 BC 上一点，弦 AE 与 BC 相交 于点 F ，且 CF ＝9，cos∠ BFA ＝ ，求 EF 的长．

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Answer 1

（1）证明：联结 BO ，……………………………1分 方法一：∵ AB ＝ AD ，∴∠ D ＝∠ ABD ， ∵ AB ＝ AO ， ∴∠ ABO ＝∠ AOB ，………………2分 又在△ OBD 中，∠ D +∠ DOB +∠ ABO +∠ ABD ＝180°， ∴∠ OBD ＝90°，即 BD ⊥ BO ， ∴ BD 是⊙ O 的切线．····················· 3分 方法二：∵ AB ＝ AO ， BO ＝ AO ，∴ AB ＝ AO ＝ BO ，∴△ ABO 为等边三角形， ∴∠ BAO ＝∠ ABO ＝60°， ∵ AB ＝ AD ，∴∠ D ＝∠ ABD ， 又∠ D ＋∠ ABD ＝∠ BAO ＝60°，∴∠ ABD ＝30°， …………………2分 ∴∠ OBD ＝∠ ABD ＋∠ ABO ＝90°，即 BD ⊥ BO ， ∴ BD 是⊙ O 的切线． ……………………………………………………3分 方法三：∵ AB ＝ AD ＝ AO ，∴点 O 、 B 、 D 在以 OD 为直径的⊙ A 上 …………2分 ∴∠ OBD ＝90°，即 BD ⊥ BO ， ∴ BD 是⊙ O 的切线． ……………………………………………………3分 （2）解：∵∠ C ＝∠ E ，∠ CAF ＝∠ EBF ，∴△ ACF ∽△ BEF ， ……………………·· 4分 ∵ AC 是⊙ O 的直径，∴∠ ABC ＝90°， 在Rt△ BFA 中，cos∠ BFA ＝ ，∴ ，             又∵ CF =9， ∴ EF =6．…………………5分

略