（2014?莆田）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，过点A作AD⊥CD于点D，交⊙O于点E，且BC=CE．（1）求
（2014?莆田）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，过点A作AD⊥CD于点D，交⊙O于点E，且BC=CE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若tan∠CAB=3...
（2014?莆田）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，过点A作AD⊥CD于点D，交⊙O于点E，且BC=CE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若tan∠CAB=34，BC=3，求DE的长．
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（1）证明：连接OC，如图，
∵
=
，
∴∠1=∠2，
∵OC=OA，
∴∠1=∠OCA，
∴∠2=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接BE交OC于F，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，tan∠CAB=
=
，
而BC=3，
∴AC=4，
∴AB=
=5，
∵∠1=∠2，
∴Rt△ABC∽Rt△ACD，
∴
=
，即
=
，解得AD=
，
∵
=
，即
=
，解得CD=
，
∵
=
，
∴OC⊥BE，BF=EF，
∴四边形DEFC为矩形，
∴EF=CD=
，
∴BE=2EF=
，
∵AB为直径，
∴∠BEA=90°，
在Rt△ABE中，
AE=
∵
 |
| BC |
|
| CE |
∴∠1=∠2，
∵OC=OA，
∴∠1=∠OCA，
∴∠2=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接BE交OC于F，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，tan∠CAB=
| BC |
| AC |
| 3 |
| 4 |
而BC=3，
∴AC=4，
∴AB=
| AC2+BC2 |
∵∠1=∠2，
∴Rt△ABC∽Rt△ACD，
∴
| AC |
| AD |
| AB |
| AC |
| 4 |
| AD |
| 5 |
| 4 |
| 16 |
| 5 |
∵
| BC |
| CD |
| AB |
| AC |
| 3 |
| CD |
| 5 |
| 4 |
| 12 |
| 5 |
∵
|
| BC |
|
| CE |
∴OC⊥BE，BF=EF，
∴四边形DEFC为矩形，
∴EF=CD=
| 12 |
| 5 |
∴BE=2EF=
| 24 |
| 5 |
∵AB为直径，
∴∠BEA=90°，
在Rt△ABE中，
AE=
AB
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