Question

如图M,N分别是四边形ABCD的边BC,AD的中点,且AB与CD不平行，求证MN＜二分之一(AB+CD)

急急急

Answer 1

题目有问题，MN应小于或等于二分之一(AB+CD)
证明：以N为旋转中心，将四边形ABCD旋转180°，得到四边形A'B'C'D'，
因为N为BC中点，所以B'与C重合，C'与B重合。
设中心对称后的M点为M'，易得线段MN旋转180°后的线段M'N与MN共线，即M，N，M'三点共线
连接AD'，则在四边形AMM'D'中，AM=M'D'且AM平行于M'D'，所以四边形AMM'D'为平行四边形，AD'=MM'
显然，MN<=(1/2)(AB+CD)，上述等号当且仅当AB平行于CD时成立。

Answer 2

连接AC，取AC中点E，再连接ME、NE；
由定理可得：ME=1/2CD，NE=1/2AB，即ME+NE=1/2(CD+AB)；
又∵MN<ME+NE（三角形任意一边小于两边之和），
∴MN<1/2(AB+CD)