Question

三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,AC⊥BC,PA=AC=BC则PC与AB所成的角的大小

Answer 1

设:PA=AC=BC=a, 求得:PC=AB=(根号2)a,

取PA的中点为E,AC的中点为F,BC的中点G,

连接EF,FG,GE.由中位线定理,知:EF//PC,  GF//AB, 且EF=0.5PC, GF= 0.5AB.

即知:EF=GF=(根号2)a/2                                                          (*)

由此又知,角EFG即等于PC与AB所成的角.

连接EC,由于PA垂直于底面,故PA垂直于BC(直线垂直于一平面,就垂直于这平面上的任何直线)

而BC又垂直于AC,即可推出:BC垂直于平面PAC,(垂直于平面上的两相交直线,就垂直于这个平面)

由此,进而推出BC垂直于EC,(垂直于平面,就垂直于平面上的任何直线)

即三角形ECG为直角三角形.且:CG = 0.5a, CE=根号[a^2+(0.5a)^2]=(根号5)a/2

再由勾股定理,求得:EG =根号[CG^2+CE^2] =根号[(1/4)a^2 +(5/4)a^2]=(根号6)/2

最后,在三角形EFG中用余弦定理:

 cos(角EFG)=[EF^2+FG^2-GE^2]/[2*EF*FG]=[1/2+ 1/2-3/2]/[2*(1/2)]=-1/2.

即知角EFG=120度.

即:PC与AB所成的角的大小为120度.