Question

在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，AC=CB=PC=2，角ACB=90°

（1）求异面直线PA与BC所成角的大小
（2）求直线BC与平面PAB所成角的正弦值

Answer 1

∵PC⊥平面ABC，BC在平面ABC内
∴PC⊥BC
∵角ACB=90°,BC⊥AC，PA∩AC=C
∴BC⊥平面PAC
∵PA在平面PAC内
∴BC⊥PA
∴异面直线PA与BC所成角的大小为90º
2
取AB中点M，连接PM
∵AC=BC∴PB=PA
∴AB⊥PM,
∵AB⊥CM
∴AB⊥平面PCM
∴平面ABC⊥平面PCM,交线为PM
做CN⊥PM于N,则CN⊥平面PCM
连接BN，则∠CBN为直线BC与平
面PAB所成的角
∵CM=1/2AB=√2，PC=2
∴PM=√6，CN=CM*PC/PM=2√2/√6=2√3/3
∴sin∠CBN=(2√3/3)/2=√3/3
直线BC与平面PAB所成角的正弦值是√3/3

追问

能用空间向量的方法么？（要求用向量的方法）

追答

以C为原点，CA,CB,CP为x,y,z轴建立直角坐标系
C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2)
(1)
PA=(2,0，-2) ,BC=(0，-2,0)
∴cos=PA·BC/|PA|×|BC|=0
∴异面直线PA与BC所成角的大小为90º
(2)设平面ABC的一个法向量m=(x,y,z)
AB=(-2,2,0)
∴m·AB=0,m·PA=0
∴-2x+2y=0,2x-2z=0
取x=1,y=1,z=1,m=(1,1,1)
∵BC=(0，-2,0)
∴cos=BC·m/(|BC|×|m|)
=-2/(2√3)=-√3/3
设BC与平面PAB所成角为α
∴sinα=√3/3
∴直线BC与平面PAB所成角的正弦值是√3/3

Answer 2

（1）解：因为PC⊥平面ABC，
所以PC⊥BC，
因为∠ACB=90°，即AC⊥BC，
所以BC⊥面PAC，
所以BC⊥PA，
所以异面直线PA与BC所成角的大小为90°；
（2）解：依题意得PA=PB=AB=2√2，
所以S△PAB=AB^2*√3/4=2√3，
令点C到面PAB的距离为h，
则三棱锥的体积=AC*BC*PC/6=S△PAB*h/3
解得h=2√3/3，
所以直线BC与平面PAB所成角的正弦值=h/BC=√3/3

追问

能用空间向量的方法么？（要求用向量的方法）