Question

Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接OD、DE．①求证：直线DE是⊙O

Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接OD、DE．①求证：直线DE是⊙O的切线．②当⊙O的半径为 ，DE=1时，求AD长．③探究：当Rt△ABC的边AB、BC满足什么条件时，四边形OBED是正方形？说明理由．

Answer 1

解：如下图所示，连接BD， (1)∵AB是直径， ∴∠ADB=90°， ∵O是AB的中点， ∴OA=OB=OD， ∴∠OAD=∠ODA，∠ODB=∠OBD， 同理在Rt△BDC中，E是BC的中点， ∴∠EDB=∠EBD， ∵∠OAD+∠ABD=90°，∠ABD+∠CBD=90°， ∴∠OAD=∠CBD， ∴∠ODA=∠EBD， 又∵∠ODA+∠ODB=90°， ∴∠EBD+∠ODB=90°， 即∠ODE=90°， ∴DE是⊙O的切线． （2）∵⊙O的半径为 时， ∴AB=2 ， 又∵E为BC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， 故AD=DC， ∴AD= = ． （3）当AB=BC时，三角形为等腰直角三角形，此时，四边形OBED是正方形． ∵AB=AC， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴O、E为AB、BC中点， ∴OB=BE， 又∵∠OBE=∠ODE=90°， ∴四边形OBED是正方形．