Question

设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2（Ⅰ）设bn=an+1-2an，证明数列{bn}是等比数列（Ⅱ）求数

设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2（Ⅰ）设bn=an+1-2an，证明数列{bn}是等比数列（Ⅱ）求数列{an}的通项公式．（Ⅲ）设cn=2nbn，求数列{cn}的前n项和Sn．

Answer 1

（I）由a₁=1，S_n+1=4a_n+2，
有a₁+a₂=4a₁+2，
∴a₂=3a₁+2=5，
∴b₁=a₂-2a₁=3…（1分）
由S_n+1=4a_n+2，…①
则当n≥2时，有S_n=4a_n-1+2…②
②-①得a_n+1=4a_n-4a_n-1，
∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1） …（3分）
又b_n=a_n+1-2a_n，
∴b_n=2b_n-1，
∴数列{b_n}是首项b₁=3，公比为2的等比数列．…（4分）
（II）由（I）可得b_n=a_n+1-2a_n=3?2^n-1，
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

∴数列{

an

2n

}是首项为

1

2

，公差为

3

4

的等差数列，…（6分）
∴

an

2n

=

1

2

+（n-1）×

3

4

=

3

4

n-

1

4

，
∴a_n=（3n-1）?2^n-2，…（8分）
（III）由（II）知，c_n=2nb_n=3n?2ⁿ，则
S_n=3（1?2+2?2²+3?2³+…+n?2ⁿ），…（10分）①
2S_n=3（1?2²+2?2³+…+（n-1）?2ⁿ+n?2ⁿ⁺¹），②
①-②，得 
-S_n=3（2+2²+2³+…+2ⁿ）-3n?2ⁿ⁺¹，…（12分）
=3（1-n）2ⁿ⁺¹-6，
所以S_n=3（n-1）2ⁿ⁺¹+6．…（14分）