Question

如图，在等腰梯形ABCD中，CD=2，AB=4，AD=BC= ，E、F分别为CD、AB中点，沿EF将梯形AFED折起，使得∠AFB=

如图，在等腰梯形ABCD中，CD=2，AB=4，AD=BC= ，E、F分别为CD、AB中点，沿EF将梯形AFED折起，使得∠AFB=60°，点G为FB的中点．（1）求证：AG⊥平面BCEF（2）求DG的长度．

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Answer 1

解：（1）∵AF=BF且∠AFB=60°， ∴△ABF是等边三角形 又∵G是FB的中点， ∴AG⊥BF ∵翻折前的等腰梯形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点， ∴EF⊥AB，可得翻折后EF⊥AF，EF⊥BF ∵AF、BF是平面ABF内的相交直线， ∴EF⊥平面ABF ∵AG 平面ABF， ∴AG⊥EF， ∵BF、EF是平面BCEF内的相交直线， ∴AG⊥平面BCEF （2）取EC中点M，连接MC、MD、MG ∵AF∥DE，AF 平面ABF，DE 平面ABF， ∴DE∥平面ABF， 同理可得：CE∥平面ABF， ∵DE、CE是平面DCE内的相交直线， ∴平面DCE∥平面ABF，可得AG∥DM ∵AG⊥平面BCEF，∴DM⊥平面BCEF， ∵MG 平面BCEF，∴DM⊥MG， ∵梯形BFEC中，EC=FG=BG=1，BF∥EC， ∴四边形EFGC是平行四边形，可得EF∥CG ∵EF⊥平面ABF， ∴CG⊥平面ABF，可得CG⊥BG Rt△BCG中，BG=1，BC= ，可得CG= =1 ∴Rt△GCM中，GM= = 又∵DM= CE= ， ∴Rt△GDM中，DG= =