Question

已知椭圆 x24+y2＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点．（1）当直线AM的斜率为1

已知椭圆 x24+y2＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点．（1）当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；（2）当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由．

Answer 1

（1）直线AM的斜率为1时，直线AM：y=x+2，（1分）
代入椭圆方程并化简得：5x²+16x+12=0，（2分）
解之得x1＝?2，x2＝?

6

5

，∴M(?

6

5

，

4

5

)．（4分）
（2）设直线AM的斜率为k，则AM：y=k（x+2），
则

y＝k(x+2) x2 4 +y2＝1

化简得：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0．（6分）
∵此方程有一根为-2，∴xM＝

2?8k2

1+4k2

，（7分）
同理可得xN＝

2k2?8

k2+4

．（8分）
由（1）知若存在定点，则此点必为P(?

6

5

，0)．（9分）
∵kMP＝

yM

xM+ 6 5

＝

k( 2?8k2 1+4k2 +2)

2?8k2 1+4k2 + 6 5

＝

5k

4?4k2

，（11分）
同理可计算得kPN＝

5k

4?4k2

．（13分）
∴直线MN过x轴上的一定点P(?

6

5

，0)．（16分）