Question

已知椭圆 ＋y 2 ＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点．(1)当直线AM的斜率为1

已知椭圆 ＋y 2 ＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点．(1)当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；(2)当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．

Answer 1

（1） （2）

(1)直线AM的斜率为1时，直线AM为y＝x＋2，代入椭圆方程并化简得5x 2 ＋16x＋12＝0，解之得x 1 ＝－2，x 2 ＝－ ，∴点M的坐标为 . (2)设直线AM的斜率为k，则AM为y＝k(x＋2)， 则 化简得(1＋4k 2 )x 2 ＋16k 2 x＋16k 2 －4＝0. ∵此方程有一根为－2，∴x M ＝ ，同理可得x N ＝ 由(1)知若存在定点，则此点必为P . ∵k MP ＝ ， 同理可计算得k PN ＝ .∴直线MN过x轴上的一定点P