（2012?西湖区一模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是边BC延长线上的一点，连接AP交边CD于点E，把射
（2012?西湖区一模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是边BC延长线上的一点，连接AP交边CD于点E，把射线AP沿直线AD翻折，交射线CD于点Q，设CP=...
（2012?西湖区一模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是边BC延长线上的一点，连接AP交边CD于点E，把射线AP沿直线AD翻折，交射线CD于点Q，设CP=x，DQ=y，（1）求证：△ADQ∽△PBA，并求出y关于x的函数解式；（2）当点P运动时，△APQ的面积S是否会发生变化？若发生变化，请说明理由：若不发生变化，请求出S的值；（3）当以4为半径的⊙Q与直线AP相切，且⊙A与⊙Q也相切时，求⊙A的半径．
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（1）在矩形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠APB=∠DAP，
由题意，得∠QAD=∠DAP，
∴∠APB=∠QAD，
∵∠B=∠ADQ=90°，
∴△ADQ∽△PBA，
∴
=
，即
=
，
∴y=
，定义域为x＞0．
（2）不发生变化，
证明：在△ADE和△ADQ中，
∵
，
∴△ADE≌△ADQ，
∴DE=DQ=y；
∴S△APQ=S△AEQ+S△EPQ
=
QE?AD+
QE?CP
=
QE（AD+CP）
=
QE?BP=DQ?BP
=y×（x+4）
=12；
所以△APQ的面积没有变化．
（3）过点Q作QF⊥AP于点F
∵以4为半径的⊙Q与直线AP相切，
∴QF=4，
∵S△APQ=12，
∴AP=6，
在Rt△ABP中，
∵AB=3，
∴∠BPA=30°，
∴∠PAQ=60°，此时BC=AD=4，DE=AD?tan30°=
，
∴AQ=EQ=2DE=
，
设⊙A的半径为r，
∵⊙A与⊙Q相切，
∴⊙A与⊙Q外切或内切．
（i）当⊙A与⊙Q外切时，AQ=r+4，即
∵AD∥BC，
∴∠APB=∠DAP，
由题意，得∠QAD=∠DAP，
∴∠APB=∠QAD，
∵∠B=∠ADQ=90°，
∴△ADQ∽△PBA，
∴
| DQ |
| AB |
| AD |
| BP |
| y |
| 3 |
| 4 |
| x+4 |
∴y=
| 12 |
| x+4 |
（2）不发生变化，
证明：在△ADE和△ADQ中，
∵
|
∴△ADE≌△ADQ，
∴DE=DQ=y；
∴S△APQ=S△AEQ+S△EPQ
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
=y×（x+4）
=12；
所以△APQ的面积没有变化．
（3）过点Q作QF⊥AP于点F
∵以4为半径的⊙Q与直线AP相切，
∴QF=4，
∵S△APQ=12，
∴AP=6，
在Rt△ABP中，
∵AB=3，
∴∠BPA=30°，
∴∠PAQ=60°，此时BC=AD=4，DE=AD?tan30°=
4
| ||
| 3 |
∴AQ=EQ=2DE=
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| ||
| 3 |
设⊙A的半径为r，
∵⊙A与⊙Q相切，
∴⊙A与⊙Q外切或内切．
（i）当⊙A与⊙Q外切时，AQ=r+4，即
8
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