（2013?白云区一模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上，与y轴的交点为B（0，-1），且b=-4ac．（
（2013?白云区一模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上，与y轴的交点为B（0，-1），且b=-4ac．（1）求点A的坐标；（2）求抛物线的解析式；（...
（2013?白云区一模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上，与y轴的交点为B（0，-1），且b=-4ac．（1）求点A的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否存在一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A？若不存在，说明理由；若存在，求出点C的坐标，并求出此时圆的圆心点P的坐标．
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（1）把B（0，-1）代入y=ax2+bx+c中，得c=-1，
由b=-4ac，得b=4a．
∵A为抛物线的顶点，
∴其横坐标为x=-
=-2，即点A的坐标为A（-2，0）；
（2）把点A的坐标（-2，0）代入抛物线解析式中，可得4a-2b-1=0，
把b=4a代入上式，得a=-
，
则b=-1，
故抛物线的解析式为：y=-
x2-x-1；
（3）点C存在．
设符合题意的点C坐标为（x，y），如图1，
方法一：过点C作CD⊥x轴于点D，
连结AB、AC，
∵A在以BC为直径的圆上，
∴∠BAC=90°，
∴Rt△AOB∽Rt△CDA，
∴可得
=
，从而OB?CD=AO?AD，
∴1?（-y）=2?|x-（-2）|，-y=2|x+2|，
-y=2[-（x+2）]，得y=2x+4，
又∵y=-
x2-x-1，
∴-
x2-x-1=2x+4，
整理得：x2+12x+20=0，
解得x1=-10，x2=-2，
从而得y1=-16，y2=0．
即点C的坐标为（-10，-16）或（-2，0）；
方法二：过点C作CD⊥x轴于点D，
连结AB、AC，过点B作BE⊥CD于点E，
则E点坐标为E（x，-1），
在Rt△AOB中，AB2=AO2+BO2=5，
在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2=（x+2）2+y2，
在Rt△BCE中，BC2=BE2+CE2=x2+（y+1）2，
在Rt△ABC中，BC2=AB2+AC2，
故可得：x2+（y+1）2=5+（x+2）2+y2，
化简整理得y=2x+4，
又y=-
x2-x-1，故-
x2-x-1=2x+4，
整理得：x2+12x+20=0，解得x1=-10，x2=-2；
从而得y1=-16，y2=0．
即点C的坐标为（-10，-16）或（-2，0）；
∵P为圆心，
∴P为直径BC的中点．
当点C坐标为（-10，-16）时，
取OD的中点P1，则P1的坐标为（-5，0）；
连结PP1，过点B作BE⊥CD，垂足为点E，交PP1为于点F，如图2，
则四边形BODE为矩形，
点E的坐标为E（-10，-1），F点的坐标为F（-5，-1），
∵PF为△BCE的中位线，
∴PF=
CE=
|-16-（-1）|=
，
∴PP1=PF+FP1=
，
∴P（-5，-
）；
当点C坐标为（-2，0）时，点C与点A重合，
取OA的中点P2，则P2的坐标为（-1，0），
连结PP2，则PP2为△OAB的中位线，
∴PP2=
OB=
，
∴P（-1，-
），
故点P的坐标为（-5，-
）或（-1，-
由b=-4ac，得b=4a．
∵A为抛物线的顶点，
∴其横坐标为x=-
| b |
| 2a |
（2）把点A的坐标（-2，0）代入抛物线解析式中，可得4a-2b-1=0，
把b=4a代入上式，得a=-
| 1 |
| 4 |
则b=-1，
故抛物线的解析式为：y=-
| 1 |
| 4 |
（3）点C存在．
设符合题意的点C坐标为（x，y），如图1，
方法一：过点C作CD⊥x轴于点D，
连结AB、AC，
∵A在以BC为直径的圆上，
∴∠BAC=90°，
∴Rt△AOB∽Rt△CDA，
∴可得
| AO |
| CD |
| OB |
| AD |
∴1?（-y）=2?|x-（-2）|，-y=2|x+2|，
-y=2[-（x+2）]，得y=2x+4，
又∵y=-
| 1 |
| 4 |
∴-
| 1 |
| 4 |
整理得：x2+12x+20=0，
解得x1=-10，x2=-2，
从而得y1=-16，y2=0．
即点C的坐标为（-10，-16）或（-2，0）；
方法二：过点C作CD⊥x轴于点D，
连结AB、AC，过点B作BE⊥CD于点E，
则E点坐标为E（x，-1），
在Rt△AOB中，AB2=AO2+BO2=5，
在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2=（x+2）2+y2，
在Rt△BCE中，BC2=BE2+CE2=x2+（y+1）2，
在Rt△ABC中，BC2=AB2+AC2，
故可得：x2+（y+1）2=5+（x+2）2+y2，
化简整理得y=2x+4，
又y=-
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
整理得：x2+12x+20=0，解得x1=-10，x2=-2；
从而得y1=-16，y2=0．
即点C的坐标为（-10，-16）或（-2，0）；
∵P为圆心，
∴P为直径BC的中点．
当点C坐标为（-10，-16）时，
取OD的中点P1，则P1的坐标为（-5，0）；
连结PP1，过点B作BE⊥CD，垂足为点E，交PP1为于点F，如图2，
则四边形BODE为矩形，
点E的坐标为E（-10，-1），F点的坐标为F（-5，-1），
∵PF为△BCE的中位线，
∴PF=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
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| 2 |
∴PP1=PF+FP1=
| 17 |
| 2 |
∴P（-5，-
| 17 |
| 2 |
当点C坐标为（-2，0）时，点C与点A重合，
取OA的中点P2，则P2的坐标为（-1，0），
连结PP2，则PP2为△OAB的中位线，
∴PP2=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴P（-1，-
| 1 |
| 2 |
故点P的坐标为（-5，-
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| 2 |
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| 2 |
