Question

已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面为正三角形，侧面A1ACC1为菱形，∠A1AC=60°，且平面A1ACC1⊥平面ABC，M是C

已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面为正三角形，侧面A1ACC1为菱形，∠A1AC=60°，且平面A1ACC1⊥平面ABC，M是C1C的中点．（1）求证：A1C⊥BM；（2）求二面角B-A1A-C的正切值．

Answer 1

解答：（1）证明：取AC中点P，则BP⊥AC
∵平面A₁ACC₁⊥平面ABC，平面A₁ACC₁∩平面ABC=AC，
∴BP⊥平面A₁ACC₁，
∵A₁C?平面A₁ACC₁，∴A₁C⊥BP
∵A₁C⊥AC₁，AC₁∥PM
∴A₁C⊥PM
∵BP∩PM=P
∴A₁C⊥面BPM
∵BM?面BPM
∴A₁C⊥BM；
（2）解：作PQ⊥A₁A于Q，连接BQ
∵BP⊥平面A₁ACC₁，∴A₁A⊥BP
∵BP∩PQ=P，∴A₁A⊥面BPQ
∵BQ?面BPQ，∴A₁A⊥BQ
∴∠BQP为二面角B-A₁A-C的平面角
斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面为正三角形，侧面A₁ACC₁为菱形，∠A₁AC=60°，设AC=2，则BP=

3

，PQ=

3

2

∴tan∠BQP=

BP

PQ

=2．