Question

有一种“上升数”，这些数的数字从左往右依次增大，将所有的四位“上升数”按从小到大的顺序排成一行：12

有一种“上升数”，这些数的数字从左往右依次增大，将所有的四位“上升数”按从小到大的顺序排成一行：1234，1235，1236，…，6789．请问：此列数中的第100个数是多少？

Answer 1

根据上升数的特点可知，
以1开头的四位“上升数”有：
1234 1235 1236 1237 1238 1239 123*=6
1245 1246 1247 1248 1249 124*=5
1256 1257 1258 1259
…
12**=6+5+4+3+2+1=21
13**5+4+3+2+1=15
1***=21+15+10+6+3+1=56
即有：

C

3 8

=

8×7×6

3×2×1

=56个．
同理可知，
以2开头的“上升数”有“

C

3 7

=

7×6×5

3×2×1

=35个．
以3开头的“上升数”有：

C

2 5

=

5×4×1

2×1

=10个，
因为：56+35+10=101，所以第101个上升数是3489，则第100个是3479．

Answer 2

上升数中不会有0, 可以组成4位数的数码只有1~9. 如果上升数是2位数, 这两个数字是从9个数码取出的2个. 取出后上升排列是唯一方式. 所以9取2后不用考虑排列, 这是组合问题, 所以这样的两位数总个数是C(9,2)=36个.
按这个方法, 4位数一共有C(9,4)=126个. 分类计算一下, “1***”是从(2,3,4,5,6,7,8,9)的8个数中取3个有C(8,3)=56个, “2***”有C(7,3)=35个, “3***”有C(6,3)=20个,“4***”形C(5,3)=10个, “5***”有C(4,1)=4个, “6789”有1个. 其中(3456~3789)是第92~112个. 枚举一下, 3456~3459(有4个)为第92~95个, 3467~3469(有3个)为96~98个, 3478~3479(有2个)为第99~100个.
所以第100个数是3479.