Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B=60°．（Ⅰ）若cos（B+C）=- 11 14 ，求cos

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B=60°．（Ⅰ）若cos（B+C）=- 11 14 ，求cosC的值；（Ⅱ）若a=5， AC ? CB =5，求△ABC的面积．

Answer 1

（本小题满分12分） （Ⅰ）在△ABC中，由cos（B+C）=- 11 14 ，得 sin（B+C）= 1-co s 2 (B+C) = 1- (- 11 14 ) 2 = 5 3 14 ， ∴cosC=cos[（B+C）-B]=cos（B+C）cosB+sin（B+C）sinB =- 11 14 × 1 2 + 5 3 14 × 3 2 = 1 7 ；…（6分） （Ⅱ）由 AC ? CB =5，得| AC |?| CB |cos（180°-C）=5，即abcosC=-5， 又a=5，∴bcosC=-1，① 由正弦定理 a sinA = b sinB ，得 a sin(120°-C) = b sin60° ， ∴ 5 3 2 cosC+ 1 2 sinC = b 3 2 ， 即 3 bcosC+bsinC=5 3 ，② 将①代入②，得bsinC=6 3 ， 则△ABC的面积为S= 1 2 absinC= 1 2 ×5×6 3 =15 3 ．…（12分）